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    <title>分数阶微积分</title>
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<ol class="definition">
	设 `f` 是连续函数, 容易通过求导验证它的 `n` 阶原函数是
	<span class="formula">
		`1/((n-1)!) int_a^x f(t) (x-t)^(n-1) dt`.
	</span>
	今对任意 `beta gt 0`, 定义 `f` 的 `beta` 阶<b>原函数</b>为
	<span class="formula">
		`{::}_a D_x^-beta f = 1/(Gamma(beta)) int_a^x f(t) (x-t)^(beta-1) dt`,
	</span>
	其中 `(x-t)^(beta-1)` 称为<b>记忆核函数</b>.
	常用的分数阶导数定义有两种. 设 `beta gt 0`, `m = |__beta__|+1`, 定义
	<li>先积分再求导的 `beta` 阶 <b>Riemann-Liouville 导数 (R-L 导数)</b>:
		<span class="formula">
			`{::}_a^"RL" D_x^beta f = D^m {::}_a D_x^-(m-beta) f`.
		</span>
	</li>
	<li>先求导再积分的 `beta` 阶 <b>Caputo</b> 导数:
		<span class="formula">
			`{::}_a^"C" D_x^beta f = {::}_a D_x^-(m-beta) D^m f`.
		</span>
	</li>
	两种导数一般不相等.
	Caputo 导数在实际应用中更常见, 它对函数的光滑性要求很高, 要求 `f`
	至少有 `m` 阶导数; Riemann-Liouville 导数更多见于理论研究.
</ol>

<p class="remark">
	下文未注明的情况下, 分数阶微积分总是指 R-L 型. 简记
	<span class="formula">
		`{::}_0^"RL" D_x^beta = D_x^beta`.
	</span>
</p>

<p class="corollary">
	分数阶微积分具有线性性.
</p>

<ol class="example">
	<li>`{::}_0 D_x^nu x^mu = (Gamma(1+mu))/(Gamma(1+mu-nu)) x^(mu-nu)`;
      `{::}_0 D_x^nu 1 = x^-nu/(Gamma(1-nu))`;
	</li>
	<li>`{::}_0 D_x^nu "e"^x = sum_(n=0)^oo x^(n-nu)/(Gamma(1+n-nu)`;
      `{::}_(-oo) D_x^nu "e"^x = "e"^x`;
	</li>
	<li>`{::}_(-oo) D_x^nu sin x = sin(x+(nu pi)/2)`;
      `{::}_(-oo) D_x^nu cos x = cos(x+(nu pi)/2)`.
	</li>
	当 `nu` 为正整数时, 求导结果与经典微积分相同. 值得注意,
	常数的分数阶导数未必是零.
</ol>

<ol class="proof">
	<li>
		<span class="formula">
			`{::}_0 D_x^-alpha x^mu`
			`= 1/(Gamma(alpha)) int_0^x t^mu (x-t)^(alpha-1) dt`
			`= x^(mu+alpha)/(Gamma(alpha)) int_0^1 y^mu(1-y)^(alpha-1) dy`
			`= x^(mu+alpha)/(Gamma(alpha)) B(alpha,mu+1)`
			`= (Gamma(1+mu))/(Gamma(1+mu+alpha)) x^(mu+alpha)`.
		</span>
		不妨设 `0 lt nu lt 1`, 从而
		<span class="formula">
			`{::}_0 D_x^nu x^mu`
			`= "d"/dx {::}_0 D_x^-(1-nu) x^mu`
			`= "d"/dx (Gamma(1+mu))/(Gamma(2+mu-nu)) x^(1+mu-nu)`
			`= (Gamma(1+mu))/(Gamma(1+mu-nu)) x^(mu-nu)`.
		</span>
	</li>
	<li>第一式通过将 `"e"^x` 展开为幂级数并逐项求导得到. 第二式...</li>
	<li>...</li>
</ol>

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</body>
</html>
